Tuve el mismo problema, tanto iMessage como Facetime no me funcionaba.
Finalmente encontré una respuesta que solucionó mi problema y fue "restablecer la configuración"
Para ello debes dirigirte Ajustes> General> Restablecer> Restablecer todos los parámetros.
No vas a perder los datos. A mi me ha ayudado, espero que a ti tambien.