En línea con las cosas que ya te están diciendo, técnicamente desde facebook no es posible averiguar la IP de un usuario. Otra cosa sería que mantuvieses un contacto, relación con este usuario en otro entorno que fuera controlado por tí. Hablo por ejemplo como ya te han dicho de crear una web donde solicites un registro y que este se pueda hacer desde Facebook. Vamos me parece complicado porque son varias condicionantes que se tienen que dar para que puedas averiguar su IP. Como si el hecho de crear una web sea un tema sencillo.
Lo que si puedes hacer es bloquear a ese contacto y reportar el problema a Facebook. Te aseguro que a Facebook no le interesa nada de nada que la experiencia de usuario sea mala. De hecho creo que con sus propios filtros pueden detener la actividad de un usuario cuando detectan que no está actuando como un usuario normal, por el volumen de mensajes que envía en un tiempo determinado, el lenguaje, etc.
¿Qué como puedes bloquear a ese contacto en Facebook?
Pues si lo haces desde el PC, entra en el perfil de esta persona. A lado del botón azul de "message" verás que hay un icono con tres puntos. Pulsas ahí y la opción que te sale al final es la de BLOCK. Mira en la imagen que te pongo abajo.
De esta forma la bloqueas y ya no te puedes molestar en Facebook. Aún así, a parte de bloquear a este contacto escribe en el support de Facebook y expón tu caso en detalle, indícales qué usuario te ha molestado y presenta pruebas para que vean que es cierto. Con esto Facebook puede tomar cartas en el asunto, incluso puede ser el comienzo de una demanda en toda regla. En tal caso y en un juicio, Facebook tendría que proporcionar detalles de esta persona como su IP si la justicia requiere recopilar información de este usuario, así como tendrá acceso a la conversación por chat en caso de incurrir en delitos graves. No es l primera vez que en un juicio salen a la luz conversaciones privadas de estas personas que incurren en delitos. Así que responsabilidad con lo que se hace! y tú verás como de lejos quieres llegar. Como primera opción, tal y como te decía, yo bloquería ya a ese contacto y revisaría mis ajustes de privacidad. No solo de Facebook, si no del resto de redes sociales que estés usando como Instagram o Twitter.
Suerte y espero te sirvan de ayuda mis palabras.